相对论激波，爆轰和爆燃
一、相对论热力学
在粒子静止系中，总能量密度是 e=\rho(1+\epsilon) ，第一项是静质量密度 \rho=nm ，第二项是内能密度。 n 是数密度， N=nV 是总数量。对总内能 U=\rho\epsilon V ，热力学第一定律给出
d U=T d S-p d V+\mu d N
定义比熵 s 为 S=\rho Vs 。在粒子数和质量守恒的情形， dN=0 ， d(Nm)=d(\rho V)=\rho dV+Vd\rho =0 ，这给出
d \epsilon=T d s-\frac{p}{\rho V}dV=T d s+\frac{p}{\rho V}\cdot \frac{V}{\rho}d\rho=Tds+\frac{p}{\rho^2}d\rho
于是
\begin{aligned} de=(1+\epsilon)d\rho+\rho d\epsilon =hd\rho+\rho Tds \end{aligned}\quad \quad (1)
这里 h=(e+p)/\rho 是比焓。同时
dh=\frac{1}{\rho}(de+dp)-\frac{h}{\rho}d\rho=Tds+\frac{dp}{\rho}\quad \quad (2)
二、相对论激波
非自引力流体满足背景时空下的静质量和能动张量协变守恒：
\begin{aligned} \nabla_{\mu}\left(\rho u^{\mu}\right) &=0 \\ \nabla_{\mu} T^{\mu \nu} &=0 \end{aligned}
这等价于用任意函数 f 和向量场 \lambda_\mu 写的
\begin{aligned} \nabla_{\mu}\left(\rho u^{\mu} f\right) &=\rho u^{\mu} \nabla_{\mu} f \\ \nabla_{\mu}\left(T^{\mu \nu} \lambda_{\nu}\right) &=T^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \lambda_{\nu} \end{aligned}
激波前是二维类空曲面，它的历史是三维超曲面 \Sigma ，在包含 \Sigma 的任意四维体 \mathscr{V} 中积分，由Stokes定理有
\begin{aligned} \int_{\mathscr{V}} \nabla_{\mu}\left(\rho u^{\mu} f\right) d^{4} x &=\oint_{\mathscr{S}} \rho u^{\mu} f n_{\mu} d V \\ \int_{\mathscr{V}} \nabla_{\mu}\left(T^{\mu \nu} \lambda_{\nu}\right) d^{4} x &=\oint_{\mathscr{S}} T^{\mu \nu} \lambda_{\nu} n_{\mu} d V \end{aligned}
\mathscr{S} 是围着 \mathscr{V} 的闭合超曲面， n_\mu 是它的类空单位法向量。在 \mathscr{V} 的体积缩成零且包含某时刻激波前 \Sigma' 的极限下，左边为零，右边则是被积函数在 \Sigma' 两侧之差在 \Sigma' 上的积分，因此
\begin{aligned} &[\![ \rho u^{\mu} ]\!] n_{\mu}=0 \\ &[\![ T^{\mu \nu} ]\!] n_{\nu}=0 \end{aligned}
这里 [\![Q ]\!]=Q_a-Q_b ， a 表示前， b 表示后。这称为相对论Rankine-Hugoniot条件。在激波前静止系中，令 n_\mu=(0,1,0,0) ，得到
\begin{aligned} J:=\rho_{a} \gamma_{a} v_{a} &=\rho_{b} \gamma_{b} v_{b} \\ \rho_{a} h_{a} \gamma_{a}^{2} v_{a}^{2}+p_{a} &=\rho_{b} h_{b} \gamma_{b}^{2} v_{b}^{2}+p_{b} \\ \rho_{a} h_{a} \gamma_{a}^{2} v_{a} &=\rho_{b} h_{b} \gamma_{b}^{2} v_{b} \end{aligned}
J 称为质量通量。上述方程可改写成
\begin{aligned}{} [\![J^2]\!]&=0\\ J^2&=- [\![p]\!]/[\![h/\rho]\!]&(3)\\ [\![h\gamma]\!]&=0 &(4) \end{aligned}
(4) 的平方，同 (3) 乘上 [\![h/\rho]\!] \left(h_{a} / \rho_{a}+h_{b} / \rho_{b}\right) 相减，得到
[\![ h^{2} ]\!]=\left(\frac{h_{a}}{\rho_{a}}+\frac{h_{b}}{\rho_{b}}\right) [\![ p ]\!]\quad \quad (5)
这称为Taub绝热线。考虑在 (p,h/\rho) 平面上沿Taub绝热线从 a 移动无穷小到 b ， (5) 给出（暂时将记号调整为 [\![Q ]\!]=Q_b-Q_a ）
[\![ h^{2} ]\!]\simeq[\![ p ]\!]\left\{ 2 \left(\frac{h}{\rho}\right)_a+\left[ \left(\frac{\partial(h/\rho)}{\partial p}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]+\frac{1}{2}\left[ \left(\frac{\partial^2(h/\rho)}{\partial p^2}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]^2\right\}+\mathcal{O}([\![ p ]\!][\![ s ]\!])
(2) 给出
\left(\frac{\partial h}{\partial s} \right)_p=T,\quad \quad \left(\frac{\partial h}{\partial p} \right)_s=\frac{1}{\rho}
于是我们又有
\begin{aligned}{} [\![ h^{2} ]\!]&\simeq 2h_a[\![ h ]\!]\\ &\simeq2h_a\left\{ \left(\frac{\partial h}{\partial s} \right)_{p,a}[\![ s ]\!] +\left(\frac{\partial h}{\partial p} \right)_{s,a}[\![ p ]\!]+\frac{1}{2}\left[ \left(\frac{\partial^2h}{\partial p^2}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]^2+\frac{1}{6}\left[ \left(\frac{\partial^3h}{\partial p^3}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]^3 \right\}+\mathcal{O}([\![ p ]\!][\![ s ]\!])\\ &\simeq 2\left\{ (hT)_a [\![ s ]\!]+\left(\frac{h}{\rho}\right)_a[\![ p ]\!]+\frac{1}{2}\left[ \left(\frac{\partial(h/\rho)}{\partial p}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]^2+\frac{1}{6}\left[ \left(\frac{\partial^2(h/\rho)}{\partial p^2}\right)_s \right]_a[\![ p ]\!]^3 \right\}+\mathcal{O}([\![ p ]\!][\![ s ]\!]) \end{aligned}
比对上面两式得到
[\![ s ]\!]=\left[\frac{1}{12 h T}\left(\frac{\partial^{2}(h / \rho)}{\partial p^{2}}\right)_{s}\right]_{a} [\![ p ]\!]^{3}+\mathcal{O}\left([\![ p ]\!]^{4}\right) \quad \quad (6)
这意味着，移动无穷小时熵不发生一阶和二阶变化，一点处Taub绝热线的前两阶导同Poisson绝热线，也就是等熵线的相等。
于是 (1) 给出 de=hd\rho ，我们有
\begin{aligned} \frac{d p}{d(h / \rho)}&=\frac{\rho^2 dp}{\rho dh-hd\rho}=\frac{\rho^2 dp}{d(\rho h)-2hd\rho}=\frac{\rho^2 dp}{d(e+p)-2de}\\ &=\frac{\rho^2 dp}{dp-de} = -\frac{\rho^{2} c_{s}^{2}}{1-c_{s}^{2}}=-\rho^2\gamma_s^2c_s^2 \end{aligned} \quad \quad (7)
此外， (6) 表明 [\![ s ]\!] 必定非零，热力学第二定律要求它为正，因此 s_b>s_a ，再由 (6) 有 p_b>p_a ，又由 (5) 有 h_b>h_a ，而 (7) 给出 dp/d(h/\rho)<0 ，这意味着 h_a/\rho_a>h_b/\rho_b ，于是 \rho_b>\rho_a ，再由 (4) 有 |v_b|<|v_a| ，又由上图易知 v_{a} \geq c_{s a} ， v_{b} \leq c_{s b} 。
激波在Euler参考系中的时空图如下，它前方的流体未受扰动因而静止。注意，它后方的流线更密，这是激波压缩的结果。
三、相对论爆轰和爆燃
下面考虑相变导致的流场不连续。由于同样有协变守恒，上节的相对论Rankine-Hugoniot条件和Taub绝热线仍然适用。不过，不连续处前后的 e_a,e_b 现在不再是 (p_a,\rho_a),(p_b,\rho_b) 的同一函数，因此前后不在同一条绝热线上。
不连续处称为反应波前，为区分波前的前后，同时也是反应前后，我们将前方流体所在的绝热线仍称为Taub绝热线，后方的则称为反应绝热线。
引入压缩系数
x=\frac{\rho_{b} h_{b} \gamma_{b}^{2} v_{b}^{2}}{\rho_{a} h_{a} \gamma_{a}^{2} v_{a}^{2}}
由相对论Rankine-Hugoniot条件，可以得到
\begin{aligned} \frac{x\left(p_{a}-p_{b}\right)}{x-1} &=\rho_{b} h_{b} \gamma_{b}^{2} v_{b}^{2}>0, \\ \frac{p_{a}-p_{b}}{x-1} &=\rho_{a} h_{a} \gamma_{a}^{2} v_{a}^{2}>0 \\ \frac{p_{a}-p_{b}}{v_{b}-v_{a}} &=\rho_{a} h_{a} \gamma_{a}^{2} v_{a}>0\quad ( v_{a}>0) \end{aligned}
这将反应绝热线分成两支：爆轰（detonation， p_a<p_b ， v_a>v_b ， x<1 ）和爆燃（deflagration， p_a>p_b ， v_a<v_b ， x>1 ）。
通过观察斜率，从上图易知：在爆轰支总有 v_a>c_{sa} ，且存在一特殊点 v_b=c_{sb} ，称为Chapman-Jouguet点，它进一步将爆轰支分成弱爆轰和强爆轰；同理，在爆燃支总有 v_a<c_{sa} ，也有Chapman-Jouguet点区分强弱；黑色点线上 p_a<p_b 且 h_a/\rho_a<h_b/\rho_b ，因此 J^2<0 ，没有物理意义。
爆轰在Euler参考系中的时空图如下，前方远处的流体未受扰动因而静止，后方的流体最终静止。它相对于前方超声速，因而不能扰动前方流体。在左侧的情形，反应波前跟随着激波，激波压缩前方流体引起反应，反应波前后方流体膨胀减速形成稀疏波；右侧是在Chapman-Jouguet点上，激波和反应波前重合。
爆燃在Euler参考系中的时空图如下，前方远处的流体未受扰动因而静止，后方的流体最终静止。它相对于前方亚声速，因而可以扰动前方流体，通过预压缩波压缩前方流体达到反应所需的条件。在左侧的情形，预压缩波前是弱不连续，称为亚声速爆燃；在右侧的情形，预压缩波前是激波，反应波前后方形成稀疏波，称为超声速爆燃。如果预压缩激波足够强，超声速爆燃最终将演化成爆轰。更多的不连续处导致爆燃波前本质上欠定，往往需要由微观理论给出反应速率，再提供一个非流体力学的方程。
References:
K. Thorne, Relativistic Shocks: the Taub Adiabat, ApJ 179: 897-907 (1973).
L. Landau & E. Lifshitz, Fluid Mechanics, Butterworth-Heinemann, 1987.
L. Rezzolla & O. Zanotti, Relativistic Hydrodynamics, Oxford, 2013.
P. Steinhardt, Relativistic detonation waves and bubble growth in false vacuum decay, PRD 25: 2074-2085 (1982).
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