Kapitel
- 01. Die Definition der Zahl Pi
- 02. Wofür wird die Kreiszahl Pi verwendet?
- 03. Die unendliche Faszination für Pi
Das Prinzip der Mathematik besteht darin, logische Gesetzmäßigkeiten systematisch aufzuzeigen. Es werden keine Behauptungen aufgestellt, die mit langen Argumentationen begründet werden, sondern aufgrund früherer Erkenntnisse Annahmen getroffen, die anschließend bewiesen werden.
Um Missverständnissen vorzubeugen, hat die Mathematik eine eigene abstrakte Sprache geschaffen, die unter anderem mit Buchstaben als Platzhalter für unbekannte Größen oder besondere Zahlen dienen. In diesem Artikel stellen wir die Zahl Pi näher vorstellen (Achtung: nicht zu verwechseln mit der goldenen Zahl Phi).
Die Zahl Pi, dargestellt durch den griechischen Buchstaben π, ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie wird aber auch in verwandten Fachbereichen wie der Physik und dem Ingenieurwesen genutzt. Sie wird auch als „Archimedes-Konstante“ oder „Ludolphsche Zahl“ bezeichnet.
Die Konstante fasziniert seit ihrer Entdeckung in der Antike mathematikbegeisterte Menschen und hat sogar ihren eigenen (inoffiziellen) Feiertag. Jedes Jahr am 14. März wird der Pi-Day gefeiert.
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Die Definition der Zahl Pi
Der Buchstabe π wurde nicht zufällig als Symbol ausgewählt: Er steht ganz am Anfang der griechischen Wörter "περίμετρος" und „περιφέρεια“, die beide mit „Umfang“ übersetzt werden können. Und die Zahl Pi beschreibt das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. So weit so gut, aber was bedeutet das genau?
Ein Kreis definiert sich aus der Menge aller Punkte, die denselben Abstand zu einem bestimmten Punkt (Mittelpunkt des Kreises) aufweisen. Sie liegen so nah beieinander, dass sich daraus eine Linie ergibt. Die Länge dieser Kreisline nennt man Umfang. Der Abstand der Kreislinie zum Mittelpunkt heißt Radius. Wenn wir ihn verdoppeln, erhalten wir den Durchmesser des Kreises.
Du kannst dir das so vorstellen: Von einem beliebigen Punkt auf dem Kreis wird eine Linie zur Mitte gezogen (Radius), die dann gerade weitergeführt wird, bis sie denjenigen Kreispunkt erreicht, der dem ersten genau gegenüberliegt. Da laut Definition beide Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind, muss also die Gesamtlinie (Durchmesser) exakt doppelt so lang sein wie der Radius.
Sobald wir den Durchmesser des Kreises verlängern, erhöht sich die Anzahl an Punkten auf der Kreislinie und damit vergrößern sich auch der Umfang des Kreises. Egal wie groß oder klein der Kreis ist, das Verhältnis zwischen Durchmesser und Umfang bleibt immer gleich.
Alte Papyrusrollen und Einschriften in Steinen lassen darauf schließen, dass dies bereits 2000 Jahre vor unserer Zeitrechnung den Ägyptern und Babyloniern bekannt war. Damals wurde mit einem ungefähren Wert von etwas mehr als 3 gerechnet. Die erste uns bekannte schriftliche Herleitung der Zahl Pi und ihrem Zahlenwert stammt von dem griechischen Mathematiker Archimedes von Syrakus (ca. 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.).
Die Annäherung an π durch Archimedes
Um den Wert von Pi zu berechnen, arbeitete Archimedes mit Vielecken, die er in und um einen Kreis mit dem Durchmesser 1 legte. In einem ersten Schritt berechnete er den Umfang eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Eckpunkte genau auf der Kreislinie liegen. Anschließend wiederholte er die Berechnung an einem 12-, einem 24-, einem 48- und schließlich einem 96-Eck. Im zweiten Schritt berechnete er nach derselben Vorgehensweise den Umfang von Vielecken, die außerhalb des Kreises liegen, ihn mit ihren Seiten aber berühren.
Liegen die Ecken eines Vielecks auf der Kreislinie, wird der Umfang des Vielecks immer etwas kleiner sein, als der des Kreises. Wenn sie außerhalb liegen, ist der berechnete Umfang hingegen etwas zu groß. Im Vergleich der Ergebnisse aus dem ersten und zweiten Schritt stellt man fest, dass sich die Werte immer weiter annähern, je mehr Ecken ein Vieleck hat. Bei 96-Ecken liegen die Seiten so nah aneinander, dass die Differenz nur noch minimal ist.
Berechnet man nun das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Vielecks außerhalb und eines innerhalb desselben Kreises, erhält man eine Ober- und eine Untergrenze für Pi. Archimedes konnte so den Wert von Pi bereits auf zwei Nachkommastellen genau eingrenzen (3,1408 < π < 3,1429).
Wir haben deine Neugier geweckt? Lies dir auch unseren Artikel über die imaginäre Zahl i durch.
Welchen Zahlenwert hat die Kreiszahl Pi?
Archimedes Methode wurde in der Folge von zahlreichen Mathematikern aufgegriffen und fortgeführt. Im 17. Jahrhundert gelang es Ludolph van Ceulens, sich Pi auf 35 Stellen anzunähern. Rund hundert Jahre später fand John Machin eine Formel, mit der er bereits 100 Stellen errechnen konnte. Die seither mit viel Ehrgeiz betriebene Rekordjagd nahm mit dem Aufkommen von Rechenmaschinen im 20. Jahrhundert ganz neue Dimensionen an.
Aus hunderten Nachkommastellen wurden Tausende und 1989 gelang es dem amerikanischen Mathematiker David Chudnovsky, als Erster die Millionengrenze zu knacken. Heute sind nicht weniger als 62.831.853.071.796 Nachkommastellen von Pi bekannt (Stand: 16.08.2021). Die Suche nach weiteren Stellen wird wohl noch ewig weitergehen; denn Pi ist unendlich.
Für die praktische Anwendung ist eine solch enorme Genauigkeit natürlich weder tauglich noch nötig. Aus diesem Grund nutzen wir weiterhin eine Annäherung an Pi, die sich auf einige wenige Nachkommastellen beschränkt. In der Schule lernst du wahrscheinlich mit dem Wert 3,1416 zu rechnen und erhältst damit schon recht genaue Ergebnisse.
Bereits im Jahr 1881 zeigte der Astronom Simon Newcomb, dass 10 Dezimalstellen von Pi völlig ausreichen, um den Umfang der Erde zu berechnen. Für die Ermittlung des Umfangs des ganzen sichtbaren Universums reichen laut Newcomb 30 Stellen aus.
Lernst du gerne Zahlenreihen auswendig und möchtest deine Freund*innen beindrucken? Dann probier’s mal mit den ersten 15 Dezimalstellen: 3,141592653589793.
Als Bruch wird die Zahl Pi so geschrieben: 355/113. Das Ergebnis ist immerhin auf 6 Nachkommastellen genau. Diese Rechnungsweise wurde verwendet, bevor es eine π-Taste auf Taschenrechnern gab. Die Darstellung von Pi als Bruch ist eine starke Vereinfachung, die genaugenommen falsch ist. Warum, schauen wir uns als Nächstes an.
Warum sagt man, dass Pi irrational ist?
In der Mathematik teilt man die Dezimalzahlen in zwei Gruppen ein: rationale und irrationale Zahlen. Rationale Zahlen haben entweder endlich viele Nachkommastellen oder unendlich viele, die periodisch sind (eine Zahl oder Zahlenfolge wiederholt sich immer wieder). Dadurch können sie als Brüche dargestellt werden.
Irrationale Zahlen hingegen können nicht als Brüche geschrieben werden, da sie unendlich und nicht periodisch sind. Das heißt, dass sich die Zahlenfolgen nach dem Komma nie wiederholen und die Zahl auch nie vollständig aufschreiben oder ermitteln lässt. Neben π sind auch √2 oder die Eulersche Zahl e irrational.
Auch wenn Mathematiker bereits seit dem neunten Jahrhundert davon überzeugt waren, dass Pi irrational ist, gelang der Beweis erst Johann-Heinrich Lambert im 18. Jahrhundert mittels einer Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion.
Ist Pi algebraisch?
Bei den irrationalen Zahlen wird in der Mathematik zwischen den algebraischen und den transzendenten Zahlen unterschieden. Die algebraischen Zahlen definieren sich dadurch, dass sie Nullstellen eines Polynoms vom Grad > 0 mit rationalen Koeffizienten sind. Ein Beispiel für eine irrationale algebraische Zahl ist √2. Wenn wir sie für x in die Gleichung x2 - 2 = 0 einsetzen, geht die Gleichung auf.
Transzendente Zahlen hingegen lassen sich nicht als Polynom beschreiben. Vereinfacht gesagt heißt das, dass eine transzendente Zahl wie π durch endlich viele algebraische Manipulationen niemals den Wert 0 erreichen kann.
Wenn du mehr über die Zahl Null erfahren möchtest, bist du bei uns genau richtig.
Aufgrund seiner Transzendenz ist Pi auch nicht konstruierbar. Das bedeutet, man kann die Zahl nicht allein mit einem Lineal und einem Zirkel konstruieren. Dadurch ist es auch nicht möglich, mit genannten Hilfsmitteln, ein Quadrat zu zeichnen, das exakt dieselbe Fläche wie ein gegebener Kreis hat.
Wofür wird die Kreiszahl Pi verwendet?
Die Kreiszahl Pi ist keineswegs dazu da, Schüler*innen sinnlos zu quälen. Sie zu kennen und mit ihr umgehen zu können gehört zur mathematischen Allgemeinbildung. Schauen wir uns also einmal an, wann und wie Pi genau zu Anwendung kommt.
Wie wir bereits gesehen haben, steht die Kreiszahl Pi für das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Daher lassen sich damit Berechnungen anstellen, die die Eigenschaften von Kreisen und damit auch aller geometrischen Formen, die eine kreisförmige Fläche beinhalten, beschreiben, so zum Beispiel auch Kugeln oder Zylinder.
Die wichtigsten Formeln mit Pi sind:
- Kreisumfang: U = d ⋅ π oder U = 2r ⋅ π
- Kreisfläche: A = π ⋅ r²
- Kugeloberfläche: O = 4 ⋅ π ⋅ r²
- Kugelvolumen: V = 4/3 ⋅ π ⋅ r³
Die Berechnung der Fläche oder des Umfangs eines Kreises wird dir beispielsweise auch weiterhelfen, wenn du das Volumen oder die Oberfläche eines Zylinders oder Kegels berechnen sollst. Aber wozu braucht man das alles? Folgende zwei Textaufgaben zeigen dir Beispiele, in denen die Kreiszahl Pi dabei helfen kann, praktische Probleme zu lösen:
- Ein Förster möchte den Durchmesser eines Baumstamms errechnen. Dazu misst er seinen Umfang mit einem Maßband. Der Umfang beträgt 89 cm. Wie groß ist der Durchmesser?
- Ein Autobesitzer möchte besser abschätzen können, wie sehr sich seine Autoreifen abnutzen werden. Dazu muss er wissen, wie oft sich ein Rad auf einer Strecke von 1 Km dreht. Der Durchmesser eines Reifens misst 75,2 cm.
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Ein weiterer Bereich, in dem uns π oft begegnet ist die Trigonometrie, die sich mit dem Verhältnis der Seiten und Winkel von Dreiecken beschäftigt. Die Größe eines Winkels kann entweder im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden.
Das Bogenmaß hat den sogenannten Einheitskreis mit dem Radius 1 zur Grundlage. Wenn wir vom Mittelpunkt aus zwei Geraden bis zur Kreislinie ziehen, wird die Länge jeder dieser Geraden dem Radius entsprechen. Das Bogenmaß ist nun der Abschnitt der Kreislinie zwischen den beiden Punkten, an denen die Geraden die Linie berühren.
Je größer der Winkel zwischen den beiden Geraden ist, umso länger wird auch das Bogenmaß. Das bedeutet, dass es zu jedem Gradmaß ein entsprechendes Bogenmaß gibt. Liegen beispielweise die beiden Geraden direkt übereinander, haben wir einen Winkel von 360° und das Bogenmaß entspricht dem Umfang des Kreises, also 2π (U = 2 ⋅ 1 ⋅ π).
Zeichnen wir nun einen rechten Winkel (α = 90°) ein, beträgt das Bogenmaß nur noch einen Viertel des Umfangs des Einheitskreises. Die Formel, die zur Berechnung verwendet wird, lautet: b = α : 360° ⋅ π. Das bedeutet in unserem Beispiel 90° : 360° ⋅ π = ¼ π.
Von großer Bedeutung ist das Bogenmaß unter anderem in der Physik, in der es zur Berechnung von Kreisbahnen verwendet wird.
Die unendliche Faszination für Pi
Neben dem praktischen Nutzen, übt die Konstante Pi, genau wie die "perfekte Zahl" oder auch "vollkommene Zahl" seit langer Zeit eine große Faszination auf Menschen aus. Nicht nur das Entdecken möglichst vieler Nachkommastellen, sondern auch das Auswendiglernen davon spornt Pi-Fans zu gedanklichen Höchstleistungen an.
Der britische „Savant“ (Person mit Inselbegabung) rezitierte 2004 erwiesenermaßen 22.514 Dezimalstellen. Übertroffen wurde diese Leistung 2005 von Lu Chao (67.890 Dezimalstellen) und 2015 von Rajveer Meena, der es mit 70.000 Nachkommastellen ins Guinness-Buch der Rekorde schaffte. Immer wieder gibt es Menschen, die behaupteten, noch weit mehr Stellen zu kennen, was aber (bisher) nicht offiziell bestätigt werden konnte.
Wenn du es auf immer hin schon beachtliche 24 Stellen bringen möchtest, kann dir folgender Merkspruch weiterhelfen:
„Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh,
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!“
Die Anzahl Buchstaben pro Wort entspricht dabei der Zahl, die du dir merken musst: π = 3,14159265358979323846264.
Die Unendlichkeit und Irrationalität von Pi lädt aber noch zu vielen weiteren Gedankenspielen ein. Falls π eine sogenannt normale Zahl ist (was bisher noch nicht bewiesen werden konnte), kommt darin jeder mögliche Ziffernblock vorkommt und Ziffernblöcke gleicher Länge gleich häufig auftreten. Das würde bedeuten, dass jede erdenkliche Zahlenkombination darin enthalten wäre.
Wenn man jetzt den Zahlenkombinationen Buchstaben zuordnet würde, wäre jeder jemals geschriebene Text, ob von dir oder von Shakespeare, irgendwo in π enthalten. Dasselbe gilt natürlich auch für deine Telefonnummer und meine Sozialversicherungsnummer.
Faszinierend ist auch, dass sich π durch ein Wahrscheinlichkeitsexperiment berechnen lässt. Herausgefunden hat dies der Graf de Buffon im 18. Jahrhundert. Wenn man längliche Objekte (wie z.B. Nadeln oder Streichhölzer) zufällig auf einen Untergrund mit Gittermuster wirft und zählt, wie viele der Objekte eine Linie kreuzen, erhält man eine Annäherung an Pi.
Sind die Abstände zwischen den Linien gleich lang, wie die geworfenen Objekte, rechnet man: 2x Anzahl geworfener Stäbe geteilt durch Anzahl der Stäbe, die die Linie kreuzen. Je mehr Objekte man wirft, umso mehr Nachkommastellen von π wird man erhalten. Bekannt ist diese Formel auch als das Buffonsche Nadelproblem.
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Die Lösungen für die Textaufgaben lauten übrigens folgendermaßen:
-
- Benutzte Formel: U = d ⋅ π
- Bekannte Größe einfügen: 89 = d ⋅ π
- Formel auflösen: d = 89 : π
- = 28,33 cm
-
- Berechnung des Radumfangs: U = 75,2 ⋅ π = 236,25 cm
- Distanz geteilt durch Umfang ergibt die Anzahl der Umdrehungen
- 1 km = 1000 m = 100.000 cm
- 100.000 : 236,25 = 423,28
Hast du noch nicht genug? Dann schau dir auch unseren Artikel zu den Primzahlen an.
Viel Spaß!
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Interessanter Artikel, aber das Gendern nervt ungemein. Wer immer noch nicht das generische Maskulinum und den Unterschied zwischen biologischem und grammatikalischem Geschlecht verstanden hat, muss zwar keine Mathe, aber auf jeden Fall Deutsch wiederholen.