Montrer que (cos θ sec θ)/cot θ = tan θ

La trigonométrie est une discipline des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs des côtés et les angles d’un triangle rectangle. Les fonctions trigonométriques, également appelées fonctions goniométriques, fonctions d’angle ou fonctions circulaires, sont des fonctions qui établissent la relation entre un angle et le rapport de deux des côtés d’un triangle rectangle. Les six principales fonctions trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante ou la cosécante.

Les angles définis par les rapports des fonctions trigonométriques sont appelés angles de trigonométrie. Les angles trigonométriques représentent des fonctions trigonométriques. La valeur de l’angle peut être n’importe où entre 0 et 360°.

Comme indiqué dans la figure ci-dessus dans un triangle rectangle :

• Hypoténuse : Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, c’est le côté le plus long d’un triangle rectangle et opposé à l’angle de 90°.
• Base : Le côté sur lequel se trouve l’angle C est appelé la base.
• Perpendiculaire : C’est le côté opposé à l’angle C considéré.

Fonctions trigonométriques

La trigonométrie a 6 fonctions trigonométriques de base, ce sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente. Intéressons-nous maintenant aux fonctions trigonométriques. Les six fonctions trigonométriques sont les suivantes,

• sinus: Il est défini comme le rapport de la perpendiculaire et de l’hypoténuse et Il est représenté par sin θ
• cosinus : Il est défini comme le rapport de la base et de l’hypoténuse et il est représenté par cos θ
• tangente : Elle est définie comme le rapport du sinus et du cosinus d’un angle. Ainsi, la définition de la tangente se révèle être le rapport de la perpendiculaire et de la base et est représentée par tan θ
• cosecant: C’est l’inverse de sin θ et est représenté par cosec θ.
• sécante : C’est l’inverse de cos θ et est représentée par sec θ.
• cotangente : C’est l’inverse de tan θ et est représenté par cot θ.

Selon l’image ci-dessus, les rapports trigonométriques sont

Sin θ = Perpendiculaire / Hypoténuse = AB/AC

Cosinus θ = Base / Hypoténuse = BC / AC

Tangente θ = Perpendiculaire / Base = AB / BC

Cosécante θ = Hypoténuse / Perpendiculaire = AC/AB

Sécante θ = Hypoténuse / Base = AC/BC

Cotangente θ = Base / Perpendiculaire = BC/AB

Identités réciproques

Sin θ = 1/ Cosec θ OU Cosec θ = 1/ Sin θ

Cos θ = 1/ Sec θ OU Sec θ = 1 / Cos θ

Cot θ = 1 / Tan θ OU Tan θ = 1 / Cot θ

Cot θ = Cos θ / Sin θ OU Tan θ = Sin θ / Cos θ

Tan θ.Cot θ = 1

Valeurs des rapports trigonométriques

	0°	30°	45°	60°	90°
Sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
Tan θ	0	1/√3	1	√3	Non défini
Sec θ	Non défini	2	√2	2/√3	1
Cosec θ	1	2/√3	√2	2	Non défini
Lit bébé θ	Non défini	√3	1	1/√3	0

Identités trigonométriques des angles complémentaires et supplémentaires

• Angles complémentaires : Paire d’angles dont la somme est égale à 90°
• Angles Supplémentaires : Paire d’angles dont la somme est égale à 180°

Les identités des angles complémentaires sont

sin (90° – θ) = cos θ

cos (90° – θ) = sin θ

tan (90° – θ) = cot θ

lit (90° – θ) = tan θ

sec (90° – θ) = cosec θ

cosec (90° – θ) = sec θ

Identités des angles supplémentaires

sin (180° – θ) = sin θ

cos (180° – θ) = – cos θ

tan (180° – θ) = – tan θ

lit (180° – θ) = – lit θ

s (180° – θ) = – s θ

cosec (180° – θ) = – cosec θ

Quadrants de trigonométrie

Montrer que (cos θ sec θ)/cot θ = tan θ

La solution:

Ici on a cos theta sec theta / cot theta = tan theta 

Donc { cos θ sec θ }/ cot θ = tan θ

En prenant LHS

cos θ sec θ / cot θ 

on peut écrire cos θ sec θ comme 1  

        = (cos θ sec θ )/cot θ

        = 1/cot θ { Cos θ = 1/ Sec θ donc Cos θ Sec θ = 1}

        = tan θ                              { Tan θ = 1 / Cot θ }

Donc LHS = RHS 

{cos θ sec θ}/ cot θ = tan θ

Donc prouvé

Questions similaires

Question 1 : Si A, B et C sont des angles intérieurs d’un triangle ABC, alors montrer que sin [(B ​​+ C)/2] = cos A/2 ?

La solution:

Nous utiliserons ici les rapports trigonométriques des angles complémentaires

sin (90° – θ) = cosθ

Comme on sait que pour ΔABC,

∠A + ∠B + ∠C = 180° (Propriété de la somme des angles du triangle)

∠B + ∠C = 180° – ∠A

En divisant les deux côtés par 2, on obtient,

(∠B + ∠C)/2 = (180° – ∠A)/2

(∠B + ∠C)/2 = 90° – ∠A/2

Maintenant, en appliquant les angles sin des deux côtés :

Par conséquent

sin {(∠B + ∠C)/2} = sin (90° – ∠A/2) {Puisque, sin (90° – θ) = cos θ}

sin (∠B + ∠C)/2 = cos A/2

Donc prouvé

Question 2 : Démontrer (1 – sin ² θ) sec ² θ = 1

La solution:

On a (1 – sin ² θ )sec ² θ = 1

Prenez LHS 

= (1 – sin ² θ )sec ² θ 

= cos ² θ sec ² θ { 1 – sin ² θ = cos ² θ }

= cos ² θ (1/cos ² θ) { sec θ = 1 /cos θ ou sec ² θ = 1/cos ² θ }

= 1

= droite

Par conséquent

(1 – sin ² θ )sec ² θ = 1

Donc prouvé